| Logaritmos |
[Sep. 16th, 2006|10:37 pm] |
Consideremos la siguiente ecuación:
a^b = x
Siendo a un número real mayor que 0 y distinto de 1 que está elevado a b, otro número real cualquiera. x es otro número real mayor que 0.
Se dice entonces que b es el logaritmo en base a de x. Por ejemplo:
10^2=100
Supongo que no será un misterio para nadie que lea esto que el cuadrado de 10 es 100. Aplicando la definición anterior, podemos afirmar que el logaritmo en base 10 de 100 es 2:
log 100 = 2
Por lo tanto, el logaritmo de un número cualquiera x (siempre que sea mayor que cero) es aquel número al que hay que elevar nuestra base para obtener x. Aunque la base es arbitraria, las dos más usuales son el 10 (base decimal) y el número e. El número e es un número irracional que se puede obtener a partir de varias definiciones, que no veremos aquí. Su valor es de 2,7182818... Al ser irracional, tiene infinitos dígitos. A los logaritmos en base e se les da el nombre de logaritmos neperianos (ln). Ejemplo:
ln 7 = 1,94591...; pues al elevar e a 1,94591... obtenemos 7.
Si a y b son dos números reales positivos, se cumplen las siguientes propiedades:
· log (a·b) = log a + log b
· log (a/b) = log a - log b
· a·log b = log (b^a)
· log c = 1; siendo c la base del logaritmo
Estas propiedades facilitan la vida en determinadas circunstancias: pueden convertir multiplicaciones en sumas, divisiones en restas y potencias en multiplicaciones sin más que aplicar el correspondiente logaritmo.
Los logaritmos son útiles para trabajar con cantidades desmesuradamente elevadas o ínfimas. Supongamos que debemos trabajar con magnitudes que rondan el billón (10^12=1.000.000.000.000). El logaritmo decimal de un billón es: log (10^12)=12, por lo que los logaritmos de los números que ronden el billón estarán cerca de 12. Como vemos, son cifras más amigables para ser operadas, pero no debemos olvidar que estamos trabajando con logaritmos, no con las cantidades originales. ¿Y si queremos trabajar, por ejemplo, con cantidades que rondan la billonésima (10^-12=0,000000000001) parte de una unidad? Aplicamos el mismo procedimiento: log (10^-12)=-12.
En química están presentes cuando toca trabajar con ácidos y bases. Así, el pH se define como el opuesto del logaritmo decimal de la concentración de iones hidronio [H3O+]:
pH=-log [H3O+]
Se suelen tener en cuenta los valores de pH del 1 al 14, que abarcan las concentraciones desde 0,1 moles por litro hasta 10^-14 moles por litro, por la propia definición de logaritmo. Esto supone una simplificación gigantesca a la hora de trabajar; los cálculos se vuelven mucho más sencillos. |
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| (no subject) |
[Jul. 14th, 2006|09:30 pm] |
π = 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...
Y sigue hasta el infinito... |
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| (no subject) |
[Mar. 26th, 2006|12:20 am] |
E=mc^2
Entendiendo, claro está, que el "^2" es un dos en el exponente, con lo que c está elevado al cuadrado. Enunciada por Einstein, es, sin lugar a dudas, la ecuación más conocida de la física, que muchas personas se apresuran a garabatear aún sin conocer bien su significado. Expliquémoslo:
-E representa la energía
-m representa la masa de un cuerpo
-c es la velocidad de la luz, constante en todos los sistemas, independiente de su posición o velocidad (3·10^8 m/s=300.000.000 metros/segundo).
La ecuación nos relaciona masa con energía, de tal modo que ambas son lo mismo. La materia está formada por energía, por lo que la materia se transforma en energía al desintegrarse, y una determinada cantidad de energía puede trasnformarse en materia. Una de las principales diferencias entre partículas es la cantidad de energía con la que están formadas.
El altísimo valor de c al cuadrado (9·10^16 J/kg=90.000.000.000.000.000 Julios/kilogramo) hace que ante la posibilidad de desintegrar totalmente una masa, valores relativamente pequeños de ella liberarían cantidades ingentes de energía. Un ejemplo lo tenemos en las bombas atómicas, en las que reacciona una masa de material radiactivo reducida, pero que libera una energía devastadora, como bien sabemos.
Es destacable, además de su utilidad, su increíble sencillez. Sorprende cómo, con un simple cálculo, uno puede obtener a cuánta masa corresponde determinada energía, y a la inversa. En el mundo cuántico, el de las partículas atómicas y subatómicas, donde todo se rige por complicadas ecuaciones, nos topamos de lleno con una ecuación lineal de primer grado. Casi magia. |
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| (no subject) |
[Mar. 25th, 2006|10:49 pm] |
¿Es el universo discreto o continuo? Esto es, ¿está formado por un número finito de elementos o por contra es algo en lo que siempre podremos encontrar elementos menores a cada elemento dado?
En el siglo XVII Newton mantenía discusiones sobre el tema con Leibniz. El modelo atomista -en tanto que consideraba la materia formada por corpúsculos- chocaba con la continuidad de racionalistas como Leibniz o Descartes, quienes pensaban que la idea de vacío era absurda y que por tanto se podría dividir la materia infinitamente.
Curiosamente, más tarde en la cuna del racionalismo, Francia, un científico fuera de serie adoptaría los modelos atomistas británicos: Pierre-Simon Laplace. Usándolos escribió el Traité de Mécanique Céleste (Tratado de mecánica celeste), que aún hoy en día impresiona por su rigor y por la gran utilidad que sigue teniendo. Mientras, el atomismo seguía floreciendo en Francia, para retornar más tarde a Gran Bretaña. Por poner un ejemplo, Maxwell se guió por los modelos franceses para unificar la electricidad y el magnetismo, ahí es nada.
Sin embargo, aunque el atomismo producía grandes avances en la ciencia, muchos se oponían enérgicamente al concepto de átomo, por mucha utilidad práctica que tuviera. Se convirtió así en uno de los debates más importantes del siglo XIX en la filosofía y la ciencia, que mantuvo durante largo tiempo enfrentadas a personas de ambas disciplinas. Cabe citar a Ludwig Boltzmann, quien trataba de probar que, siempre que uno piensa en componentes últimos de la materia, aunque piense en su continuidad, se le vienen a la mente elemenos discretos, aunque fueran elementos infinitesimales. Del otro bando podemos recordar a físicos como Ernst Mach -famoso por el número de Mach, que relaciona la velocidad de un objeto con la del sonido-. De todos modos, los grandes problemas físicos se siguieron resolviendo desde perspectivas atomistas, y empezaban a aparecer experimentos que llevaban a pensar en la existencia de partículas.
Uno de ellos, realizado por Rutherford, consistía en bombardear con partículas alfa (hoy se sabe que son núcleos de helio) una placa metálica. Gran parte de las partículas atravesaban sin desviarse la placa, mientras que otras sufrían una desviación y sólo un porcentaje muy pequeño rebotaban. Este fenómeno puede explicarse fácil e intuitivamente acudiendo al concepto de átomo y admitiendo la existencia de un espacio vacío entre los mismos.
Todo lo anterior, junto con la aparición de modelos que intentaban explicar la estructura de los átomos y con el desarrollo de nuevas pruebas para la existencia de los mismos, encumbró al atomismo y a la concepción discreta de la materia desde principios del siglo XX.
Pero, pensemos ahora en el espacio y en el tiempo (si bien sería más correcto referirse al espacio-tiempo, desde que la relatividad general demostrase su interrelación), el escenario donde sucede todo el baile de materia y energía. En este caso no se nos presenta manera alguna de comprobar su continuidad o su discreción, aunque intuitivamente ambos se nos presentan como un continuo. Kant apuntó que los dos son características inherentes al sujeto (es decir, nuestras), aportando entre muchos argumentos que los pensamientos de uno, así como fenómenos que percibe, no pueden existir sin estar dados en un espacio y un tiempo. De ser esto así, simplemente espacio y tiempo serían como nuestra naturaleza hace que sean. No encuentro ninguna otra manera de abordarlo más que por burdas especulaciones, así que mejor dejo el tema. Aquí queda planteado por si alguien quiere pensar un poco. |
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| (no subject) |
[Mar. 17th, 2006|11:10 pm] |
En Tratamiento de Datos Físicos -asignatura que se debería llamar Estadística-, asistimos los primeros días al derrumbe de los universos particulares de algunos de los que estamos en primero de física. Me explico.
El profesor, a quien ya tenía el gusto de conocer de un cursillo de nivelación, parafraseando a la cita de Einstein "física es geometría", pronunció unas palabras que, aunque sosegadamente dichas, a muchos sonaron estruendosas a priori: "física es estadística". Disculpándose por esto mismo y por lo que haría a continuación, comenzó a abrirnos los ojos.
"La realidad es incertidumbre", continuó. Esta continuación causó más perplejidad aún; si muchos queríamos estudiar físicas era porque confiábamos en la existencia de regularidades en el comportamiento del mundo que podríamos comprender, más incluso: manejar. Los experimentos y las mediciones nos llevan al descubrimiento de leyes de la naturaleza que nos permiten comprenderla, o eso creíamos, porque se nos escapaba un principio conocido por todos nosotros, pero del que no supimos derivar correctamente las consecuencias: el principio de incertidumbre de Heisenberg. Enunciado en los años veinte por Werner Heisenberg, afirma que no se pueden conocer con total exactitud el momento lineal (producto de la masa y la velocidad) y la posición de una partícula en un instante dado simultáneamente. No es un error de los instumentos de medida, sino una característica inherente a la realidad. Muchos de nosotros consideramos este principio para lo que a priori se dirigía, es decir, a las partículas cuánticas, sin conceder importancia a que a nivel macroscópico también se dan esas incertidumbres por estar todo cuerpo formado por partículas, si bien a un nivel mucho menor. Este principio trastocó los pilares de la física, no en vano, ésta se ocupa de la realidad en cuanto es mensurable.
Al no poder determinar ninguna medida de manera totalmente exacta, la realidad se torna incierta, pues no podemos saber el comportamiento de los entes que la forman. Aquí es donde entra la estadística y su estudio de la aleatoriedad. Ya no podemos aseverar que determinado fenómeno se produzca o no se produzca, sólo es válido hablar de las probabilidades que hay de que eso ocurra. Por eso, aunque todas las leyes referidas al ámbito de los sistemas macroscópicos se cumplan cada vez que observemos, no son más que excelentes promedios, aproximaciones valiosísimas para intentar conocer la realidad. Cabe, luego, decir que cierto objeto presentará cierto comportamiento y que las probabilidades de que no suceda son bajísimas, pero que existen. Las partículas que lo forman no se controlan de ningún modo, no somos capaces de predecir su comportamiento, por lo que tampoco los cambios que puedan inducir a todo el sistema.
Por todo esto, debemos arrojar el determinismo al fuego -el físico, los demás tipos ya deberíamos haberlos arrojado hace mucho- y admitir de una vez por todas que algunas partes de nuestro mundo nos están vedadas. Esto no nos debe desalentar; siempre podremos encontrar casos promedio que nos ayuden a explicar los fenómenos, justo como hemos hecho hasta ahora, pero conscientes de nuestras limitaciones y de la naturaleza del universo. En nuestra vida cotidiana los objetos seguirán cayendo como hasta ahora siguiendo las instrucciones de Newton, el espacio se seguirá curvando con la masa como decía Einstein, las radiaciones seguirán llegando a nuestros aparatos a 3·10^8 m/s y sus circuitos continuarán siendo siervos del electromagnetismo. Sin embargo, hay una ínfima posibilidad de que en algún momento, algunas partículas traviesas nos desconcierten. Esto es parte de lo que nos intentó transmitir, reescrito por mí una vez he podido digerirlo un poco.
Las descripciones modernas deterministas del mundo eran un bonito y útil sueño, aunque muy cándido. En el s. XX nos despertamos y nos tocó empezar de nuevo. Aún hay mucho que hacer... |
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